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@0 - 参考资料@

@0.5 - 多项式平方根@

已知一个多项式 \(A(x)\)，求一个多项式 \(F(x)\)，使得 \(F^2(x) = A(x)\)。

我们仿照多项式求逆的方法，加上一个模数变成 \(F^2(x) = A(x) \mod x^n\)。

然后考虑倍增，假如我们已知：

\[F_0^2(x) \equiv A(x) \mod x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}\]

套路移项，得到：

\[F_0^2(x)-A(x) \equiv 0 \mod x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}\]

套路平方，得到：

\[F_0^4(x)-2F_0^2(x)A(x)+A^2(x) \equiv 0 \mod x^{n}\]

你看右边空荡荡的，心里肯定有点儿不爽对吧：

\[F_0^4(x)+2F_0^2(x)A(x)+A^2(x) \equiv 4F_0^2(x)A(x) \mod x^{n}\]

你看右边已经有个 \(A(x)\) 了，我们就再把 \(A(x)\) 单独孤立出来吧。

\[\dfrac{F_0^4(x)+2F_0^2(x)A(x)+A^2(x)}{4F_0^2(x)} \equiv A(x) \mod x^{n}\]

你看左边已经是一个平方式了哦~

我们令 \(F(x) = \dfrac{F_0^2(x)+A(x)}{2F_0(x)}\)，则 \(F^2(x)\equiv A(x) \mod x^{n}\)。

然后就可以一路倍增上去了。边界情况下是一个模意义下的平方剩余。

这个多项式开方和多项式求逆之间有许多共通的思想，但有些地方是很具有构造性的。

但如果题目要我们求立方根呢？如果题目要我们解高次方程呢？我们这样推导肯定是不合适的。

我们是否可以找到一个通用的方法，对于这两个，甚至更多的问题都适用呢？

@1 - 牛顿迭代法@

@数学上的定义@

本节跟我们要讲的没有任何关系。

对于某一个函数 \(f(x)\) 与函数上某一个点 \((x_0, f(x_0))\)，我们可以用过该点的函数切线解析式去近似地代替整个函数。

根据导函数的定义，过 \((x_0, f(x_0))\) 的函数切线解析式为 \(g(x) = f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)\)。则我们可以用 \(g(x)\) 去近似替代 \(f(x)\)。

假如 \(g(x)\) 的零点为 \(g(z)=0\)（\(z = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\)），因为 \(g(x)\) 是 \(f(x)\) 的近似，所以也许 \(f(z) = 0\)。

但是这个概率非常的低。于是我们再选择 \((z,f(z))\) 进行迭代，求出 \((z,f(z))\) 对应的 \(g(x)\)，重复十几二十百遍，应该就非常非常接近零点了。

然而……这个方法并不具有普适性，有些时候迭代会出现循环。但是对于多项式的相关操作，它的确是普适的。

根据泰勒展开：

\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\dots\]

我们只取前两项（因为它们是线性的），也可以得到上面的结果。

@对于多项式的定义@

总结多项式逆元与多项式开方，我们可以得到通用的一些东西。

对于一个自变量和因变量都是多项式的函数 \(G(F(x))\)，我们要找到多项式 \(F_0(x)\)，使得：

\[G(F_0(x))=0\]

当 \(G(F(x)) = A(x)*F(x) - 1\) 时相当于逆元，当 \(G(F(x)) = F^2(x)-A(x)\) 时相当于开方。

怎么弄呢？我们套路取模，转换为 \(G(F(x))\equiv 0\mod x^n\)。

再套路倍增，假如我们已知：

\[G(F_0(x))\equiv 0\mod x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}\]

将 \(G(F(x))\) 在 \(F_0(x)\) 处泰勒展开，得到：

\[G(F(x))\equiv G(F_0(x))+G'(F_0(x))(F(x)-F_0(x))+\dfrac{G''(F_0(x))(F(x)-F_0(x))^2}{2!}+\dots\mod x^n\]

因为在模意义下 \(G(F(x)) \equiv 0\mod x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}\) 只有唯一解，所以：

\[F(x)\equiv F_0(x)\mod x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}\]

然后套路移项 + 套路平方：

\[(F(x)-F_0(x))^2\equiv 0\mod x^n\]

因为泰勒展开第三项及其以后的项都含 \((F(x)-F_0(x))^2\)，所以我们可以直接忽略。

又因为根据定义 \(G(F(x))\equiv 0\mod x^n\)，故：

\[0\equiv G(F_0(x))+G'(F_0(x))(F(x)-F_0(x))\mod x^n\]

变一下形：

\[F(x)\equiv F_0(x)-\dfrac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\mod x^n\]

好的我们就可以倍增了。

@2 - 牛顿迭代的应用@

@重新推导 - 多项式逆元@

对于 \(G(F(x)) = A(x)*F(x) - 1\) ，求 \(G(F(x))\equiv 0\mod x^n\) 的 \(F(x)\)。

根据迭代式：

\[F(x)\equiv F_0(x)-\dfrac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\equiv F_0(x)-\dfrac{A(x)*F_0(x) - 1}{A(x)}\mod x^n\]

根据严密的推导，我们可以得到：\(\dfrac{A(x)*F_0(x) - 1}{A(x)}\equiv F_0(x)(A(x)*F_0(x) - 1)\mod x^n\)

所以：

\[F(x)\equiv 2F_0(x)-A(x)*F_0^2(x)\mod x^n\]

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

@重新推导 - 多项式平方根@

对于 \(G(F(x)) = F^2(x)-A(x)\) ，求 \(G(F(x))\equiv 0\mod x^n\) 的 \(F(x)\)。

根据迭代式：

\[F(x)\equiv F_0(x)-\dfrac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\equiv F_0(x)-\dfrac{F_0^2(x) - A(x)}{2F_0(x)}\mod x^n\]

稍微恒等变换一下，就可以得到我们上边那个公式。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

@多项式对数函数@

这个其实和牛顿迭代没啥关系。。。

已知 \(F(x) \equiv \ln A(x)\mod x^n\) ，求 \(F(x)\)。

怎么去理解呢？其实它就是个泰勒展开：

\[\ln(1-P(x))=-P(x)-\frac{P(x)^2}{2}-\frac{P(x)^3}{3}-\dots\]

直接求不好做的，我们考虑两边求个导数：

\[F'(x) \equiv \frac{A'(x)}{A(x)}\mod x^n\]

这样我们就可以顺利求出 \(F'(x)\)，再对 \(F'(x)\) 积分一下就可以了。

但是不定积分的常数项？一般来说题目会保证 \(A(x)\) 的常数项为 1，根据泰勒展开可得 \(F(x)\) 的常数项为 0。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

@多项式指数函数@

已知 \(F(x) \equiv e^{A(x)}\mod x^n\) ，求 \(F(x)\)。

如果我们求导是没啥用的，毕竟 \(e^x\) 的导数还是它自己。

我们考虑两边求对数：

\[\ln F(x) \equiv A(x)\mod x^n\]

然后记 \(G(F(x)) = \ln F(x)-A(x)\)，于是又可以愉快地进行牛顿迭代啦。

\[F(x)\equiv F_0(x)-\dfrac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\equiv F_0(x)-(\ln F_0- A(x))*F_0(x)\mod x^n\]

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

@多项式幂函数@

\[F^k(x)=(e^{\ln F(x)})^k=e^{k\ln F(x)}\]

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

@多项式三角函数@

\[e^{i*F(x)}=\cos F(x) + i*\sin F(x)\]

把运算改成支持复数的运算。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

@3 - 一些参考代码@

@对数函数@

本代码为 的 AC 代码。

#include
    
     #include
     
      using namespace std;const int G = 3;const int MAXN = 400000;const int MOD = 998244353;int pow_mod(int b, int p) {    int ret = 1;    while( p ) {        if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;        b = 1LL*b*b%MOD;        p >>= 1;    }    return ret;}int inv[MAXN + 5];void init() {    inv[1] = 1;    for(int i=2;i<=MAXN;i++)        inv[i] = 1LL*(MOD - MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;}struct Polynomial{    void poly_copy(int *A, int *B, int n) {        for(int i=0;i
      
       >1);(j^=l)
       
        >=1);        }        for(int s=2;s<=n;s<<=1) {            int t = (s>>1);            int u = (type == 1) ? pow_mod(G, (MOD-1)/s) : pow_mod(G, (MOD-1)-(MOD-1)/s);            for(int i=0;i
        
         < (n<<1);len <<= 1);        poly_inv(A, B, (n + 1) >> 1);        poly_copy(tmp1, A, n); poly_clear(tmp1, n, len);        ntt(tmp1, len, 1); ntt(B, len, 1);        for(int i=0;i
         
          < (n+m-1);len <<= 1); poly_copy(tmp2, A, n), poly_copy(tmp3, B, m); ntt(tmp2, len, 1), ntt(tmp3, len, 1); for(int i=0;i
          
           =0;i--) A[i+1] = 1LL*B[i]*inv[i+1]%MOD; A[0] = 0; } void poly_deri(int *A, int *B, int n) { for(int i=1;i
          
         
        
       
      
     
    

@指数函数@

本代码为 的 AC 代码。

#include
    
     #include
     
      using namespace std;const int G = 3;const int MAXN = 400000;const int MOD = 998244353;int pow_mod(int b, int p) {    int ret = 1;    while( p ) {        if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;        b = 1LL*b*b%MOD;        p >>= 1;    }    return ret;}int inv[MAXN + 5];void init() {    inv[1] = 1;    for(int i=2;i<=MAXN;i++)        inv[i] = 1LL*(MOD - MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;}struct Polynomial{    void poly_copy(int *A, int *B, int n) {        for(int i=0;i
      
       >1);(j^=l)
       
        >=1);        }        for(int s=2;s<=n;s<<=1) {            int t = (s>>1);            int u = (type == 1) ? pow_mod(G, (MOD-1)/s) : pow_mod(G, (MOD-1)-(MOD-1)/s);            for(int i=0;i
        
         < (n<<1);len <<= 1);        poly_inv(A, B, (n + 1) >> 1);        poly_copy(tmp1, A, n);        ntt(tmp1, len, 1); ntt(B, len, 1);        for(int i=0;i
         
          < (n+m-1);len <<= 1); poly_copy(tmp2, A, n), poly_copy(tmp3, B, m); ntt(tmp2, len, 1), ntt(tmp3, len, 1); for(int i=0;i
          
           =0;i--) A[i+1] = 1LL*B[i]*inv[i+1]%MOD; A[0] = 0; } void poly_deri(int *A, int *B, int n) { for(int i=1;i
           
            < (n<<1);len <<= 1); poly_exp(A, B, (n + 1) >> 1); poly_copy(tmp5, A, n); poly_ln(B, tmp6, n); ntt(tmp5, len, 1), ntt(tmp6, len, 1), ntt(B, len, 1); for(int i=0;i
           
          
         
        
       
      
     
    

@4 - 算法应用@

例题：@COGS - 2189@ 帕秋莉的超级多项式

已知 \(F(x)\) 是个 n 次多项式，\(k\) 是一个整数，且已知：

\[G(x)\equiv(1+ \ln (1+\frac{1}{exp(\int \frac{1}{\sqrt{F(x)}})}))^k\mod x^n\]

求 \(G'(x)\)，先取模再求导。

这道题……我暂时没有找到哪里可以交，但是找网上的程序对拍可以拍上几千组……应该是 AC 了的。

solution：按题意模拟 qwq。

主程序里面要把多项式的长度扩展成 2 的整数次幂才能 AC，但是依照我的理解是不用扩展的，不知道为什么。

#include
    
     #include
     
      #include
      
       using namespace std;const int G = 3;const int MAXN = 1000000;const int MOD = 998244353;int pow_mod(int b, int p) {    int ret = 1;    while( p ) {        if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;        b = 1LL*b*b%MOD;        p >>= 1;    }    return ret;}int inv[MAXN + 5];void init() {    inv[1] = 1;    for(int i=2;i<=MAXN;i++)        inv[i] = 1LL*(MOD - MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;}struct Polynomial{    void poly_copy(int *A, int *B, int n) {        for(int i=0;i
       
        >1);(j^=l)
        
         >=1);        }        for(int s=2;s<=n;s<<=1) {            int t = (s>>1);            int u = (type == 1) ? pow_mod(G, (MOD-1)/s) : pow_mod(G, (MOD-1)-(MOD-1)/s);            for(int i=0;i
         
          < (n<<1);len <<= 1); poly_inv(A, B, (n + 1) >> 1); poly_copy(tmp1, A, n); ntt(tmp1, len, 1); ntt(B, len, 1); for(int i=0;i
          
           < (n+m-1);len <<= 1); poly_copy(tmp2, A, n), poly_copy(tmp3, B, m); ntt(tmp2, len, 1), ntt(tmp3, len, 1); for(int i=0;i
           
            =0;i--) A[i+1] = 1LL*B[i]*inv[i+1]%MOD; A[0] = 0; } void poly_deri(int *A, int *B, int n) { for(int i=1;i
            
             < (n<<1);len <<= 1); poly_exp(A, B, (n + 1) >> 1); poly_copy(tmp5, A, n); poly_ln(B, tmp6, n); ntt(tmp5, len, 1), ntt(tmp6, len, 1), ntt(B, len, 1); for(int i=0;i
             
              < (n<<1);len <<= 1); poly_sqrt(A, B, (n + 1) >> 1); poly_copy(tmp8, A, n); poly_inv(B, tmp9, n); ntt(tmp8, len, 1), ntt(tmp9, len, 1), ntt(B, len, 1); for(int i=0;i
              
               <= n;m <<= 1); oper.poly_sqrt(f, g, m); oper.poly_copy(f, g, m); oper.poly_clear(g, 0, m); oper.poly_inv(f, g, m); oper.poly_copy(f, g, m); oper.poly_clear(g, 0, m); oper.poly_int(g, f, m); oper.poly_copy(f, g, m); oper.poly_clear(g, 0, m); oper.poly_exp(f, g, m); oper.poly_copy(f, g, m); oper.poly_clear(g, 0, m); oper.poly_inv(f, g, m); oper.poly_copy(f, g, m); oper.poly_clear(g, 0, m); f[0]++; oper.poly_ln(f, g, m); oper.poly_copy(f, g, m); oper.poly_clear(g, 0, m); f[0]++; oper.poly_pow(f, g, m, k); oper.poly_copy(f, g, m); oper.poly_clear(g, 0, m); oper.poly_deri(g, f, n); oper.poly_copy(f, g, n); oper.poly_clear(g, 0, n); for(int i=0;i